DENSITÀ E CENTRO DI MASSA

Densità e centro di massa:

Immaginiamo che un corpo rigido sia composto di punti materiali, che fungono da piccoli volumi dotati di massa.

La densità ha il simbolo: ρ (lettera greca rho o ro)

L'unità di misura della densità è kg/m^3

Formula della densità:

ρ = dm/dv

I vari volumi posso anche non contenere la stessa massa allora dm varia a seconda del volume è dm = ρ ∙ dv

Visto che varia la massa integriamo:

∫ dm = ∫ ρ ∙ dv

Nel caso in cui la densità è costante allora il corpo è omogeneo ed avremo:

ρ = m/v ed m = ρ ∙ v

In caso che la densità non è costante il corpo non è omogeneo.

La massa anzi che essere distribuita in un volume può essere su una superfice (S).

In questi casi si parla di densità superficiale e di densità lineare

ρsuperficiale = dm/dS allora otteniamo m = ∫ ρ ∙ S ∙ dv

L' unità di misura della ρsuperficiale è kg/m^2

ρlineare = dm/dl allora otteniamo m= ∫ρ ∙ l ∙ dv

L' unità di misura della ρlineare è kg/m

Ora parliamo di:

Volume Specifico che è il rapporto tra il volume e la massa ed esprime il volume per unità di massa

V =1/ρ = dV/dm

Abbiamo parlato della densità, ora parliamo del centro di massa.

Dai precedenti articoli abbiamo capito che un corpo rigido ha una massa:

dm = ρ ∙ dv

e che il centro di massa di un sistema di punti materiali ha un raggio pari

raggio = r ∙ dm / dm

il numero di particelle però è infinito e quindi integriamo

rcm = ∫ r ∙ dm / ∫ dm = ∫ r ∙ ρ ∙ dv / ∫ ρ ∙ dv

↓

dm = ρ ∙ dv

= 1 / m ∙ ∫ r ∙ ρ ∙ d

↓

Il denominatore ρ ∙ dv = m cioè alla massa totale del corpo e quindi la tiriamo fuori dall'integrale.

Otteniamo le varie coordinate

Xcm = 1 / m ∙ ∫ x ∙ ρ ∙ dv ; Ycm = 1 / m ∙ ∫ y ∙ ρ ∙ dv ; Zcm 1 / m ∙ ∫ z ∙ ρ ∙ dv

Se la massa è distribuita linearmente avremo la densità lineare pari:

rcm = 1 /m ∙ ∫ r ∙ l ∙ ρ ∙ dl

Se la massa è distribuita su una superfice allora avremo la densità superficiale:

rcm = 1 / m ∙ ∫ r ∙ ρs ∙ dvs

Se un corpo ha densità costante allora è omogeneo e in questo caso ρ= costante

rcm = ρ / m ∙ ∫ r ∙ dv = 1/v ∙ ∫ r ∙ dv

Da questa definizione possiamo capire che la posizione del centro di massa di un corpo rigido dato il raggio(rcm) che è la media della funzione vettoriale r(x, y, z) non dipende dalla massa ma solo dalla forma essendo nel volume V.

Buono studio!