MOTO DI UN CORPO SOTTOPOSTO ALLA FORZA GRAVITAZIONALE

Moto di un corpo sottoposto alla forza gravitazionale:

In questo articolo oggi parliamo del moto di un corpo di massa m che si trova nel campo gravitazionale di un corpo che funge da una sorgente di massa M.

L'orbita del corpo m può essere di 3 tipi:

Ellisse, iperbole o parabola

L'energia totale del corpo m:

Dall'articolo Energia potenziale gravitazionale sappiamo che Epot è negativa.

Nelle orbite aperte m non è troppo legata ad M e l'energia totale non è negativa.

Con orbite aperte parliamo di parabola ed iperbole.

Nella parabola Etot=0 mentre nell'iperbole E è un valore positivo.

In questi due casi:

Mentre nel caso di orbite chiuse m è legata ad M quindi è un ellisse e l'energia totale è negativa:

Vediamo graficamente le 3 possibili traiettorie del corpo m con velocità v

Quando le traiettorie sono aperte allora l'energia potenziale del corpo m è tale da non essere catturato da M. Naturalmente il corpo m risente della forza gravitazionale ed infatti la traiettoria viene modificata, in questi casi "incurvata". Il moto viene accelerato nella fase di avvicinamento e decelera nella fase di allontanamento.

Le orbite ellittiche le vediamo nei satelliti naturali o artificiali. Nel nostro caso per esempio la Luna.

Nell'eventualità che vuoi vogliate lanciare un satellite artificiale, prenderà un'orbita ellittica ma attenti. Se la velocità è troppo forte potrebbe allontanarsi per sempre dalla Terra, mentre se è troppo bassa potrebbe cadere sulla Terra.

Prima di parlare di numeri ripassiamo un attimo l'ellisse.

Questa immagine raffigura un ellisse con semiasse maggiore a e semiasse minore b. F è il fuoco con ε=0.5 ed è ε= misura di quanto una sezione conica è lontana dall’essere una circonferenza.

Infatti se ε < 1 allora la sezione conica è un ellisse.

c è la semi distanza focale (distanza tra O e F cioè distanza dal centro e il fuoco) e se a^2>b^2 allora c = √a^2-b^2 (tutto sotto radice quadrata). Se invece b^2>a^2 allora

c = √b^2-a^2 (tutto sotto radice quadrata)

Nel caso in cui:

allora l'ellisse diventa una circonferenza. L'eccentricità ci dice di quanto è "schiacciata" l'ellisse sull'asse. L'area racchiusa da un ellisse è:

Se facciamo la formula inversa di ε:

Il momento angolare allora è:

mentre l'energia totale:

Una volta calcolata l'energia totale viene stabilita a come la lunghezza del semiasse maggiore, mentre l'eccentricità (ε) dell'orbita è definita una volta che viene specificato il modulo del momento angolare. L e Etot sono indipendenti tra loro.

Per calcolare il periodo di rivoluzione partiamo dalla velocità areolare (va):

l'area dell'orbita ellittica è descritta in un tempo T:

Nell'immagine sopra otteniamo T = 2mA / L sostituendo nella formula la formula di Va trovata sopra.

Sostituendo A otteniamo:

Portiamo tutto alla seconda e sostituiamo L:

Nel caso in cui:

La costante è uguale per tutti i pianeti essendo la massa m di ciascun pianeta molto minore rispetto alla massa M del sole.

Newton spiegò le leggi di Keplero relative ai pianeti del sistema solare. Visto che nelle dimostrazioni di Newton non dipendono dalle caratteristiche del sole e dei pianeti. Allora la legge aveva una validità universale.

Buono studio!